8. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 нарисован треугольник АВС. Отрезок АМ — медиана данного треугольника. Найдите длину отрезка ВМ.

1. Понимание условия:

• У нас есть треугольник ABC, нарисованный на клетчатой бумаге. Размер клетки 1x1.
• AM — медиана. Медиана в треугольнике — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В данном случае, AM соединяет вершину A с серединой стороны BC.
• Нам нужно найти длину отрезка BM.

2. Анализ рисунка:

• Найдем координаты точек A, B и C, считая, что левый нижний угол сетки — это (0,0) или просто ориентируясь по клеткам.
• Точка B: находится в 3 клетках вправо и 4 клетках вверх от точки A.
• Точка C: находится в 5 клетках вправо и 1 клетке вверх от точки A.
• Сторона BC: Чтобы найти середину стороны BC, нам нужно найти координаты середины отрезка, соединяющего B и C.
• Координаты B: (3, 4)
• Координаты C: (5, 1)
• Середина BC (точка M): Координаты середины отрезка находятся по формуле: $$M = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right)$$
• $$M = \left( \frac{3 + 5}{2}, \frac{4 + 1}{2} \right) = \left( \frac{8}{2}, \frac{5}{2} \right) = (4, 2.5)$$

3. Нахождение длины BM:

• Точка B имеет координаты (3, 4).
• Точка M имеет координаты (4, 2.5).
• Теперь найдем длину отрезка BM, используя формулу расстояния между двумя точками:
  $$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$$
• $$BM = \sqrt{(4-3)^2 + (2.5-4)^2}$$
• $$BM = \sqrt{(1)^2 + (-1.5)^2}$$
• $$BM = \sqrt{1 + 2.25}$$
• $$BM = \sqrt{3.25}$$

Другой, более простой способ, основанный на свойстве медианы:

Медиана делит сторону пополам. Следовательно, точка M является серединой стороны BC.

1. Найдем длину всей стороны BC:

а) Горизонтальное смещение: от B (3) до C (5) = $$5 - 3 = 2$$ клетки.

б) Вертикальное смещение: от B (4) до C (1) = $$4 - 1 = 3$$ клетки.

в) Длина BC по теореме Пифагора:
$$BC = \sqrt{(\text{горизонтальное смещение})^2 + (\text{вертикальное смещение})^2}$$
$$BC = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$$

2. Найдем длину BM:

Так как M — середина BC, то $$BM = \frac{1}{2} BC$$.

$$BM = \frac{1}{2} \sqrt{13}$$

3. Переведем в десятичную дробь:

$$\sqrt{13} \approx 3.605$$

$$BM \approx \frac{3.605}{2} \approx 1.803$$

Давайте пересчитаем, используя клетки как единицы длины:

1. Найдем координаты точек, исходя из сетки:

• Пусть точка A находится в начале координат (0,0).
• Точка B находится в точке (3, 4).
• Точка C находится в точке (5, 1).

2. Найдем середину отрезка BC (точка M):

• $$M_x = \frac{3+5}{2} = 4$$
• $$M_y = \frac{4+1}{2} = 2.5$$
• Итак, точка M имеет координаты (4, 2.5).

3. Найдем длину отрезка BM:

• $$B = (3, 4)$$
• $$M = (4, 2.5)$$
• $$BM = \sqrt{(4-3)^2 + (2.5-4)^2} = \sqrt{1^2 + (-1.5)^2} = \sqrt{1 + 2.25} = \sqrt{3.25}$$

4. Альтернативный подсчет по клеткам:

Сторона BC состоит из движения: 2 клетки вправо и 3 клетки вниз (от B к C).

Длина BC = $$\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$$.

BM = MC = $$\frac{\sqrt{13}}{2}$$.

5. Измеряем по сетке, насколько от B до M:

Точка B - (3,4). Точка M - (4, 2.5). Разница по X = 1 клетка. Разница по Y = 1.5 клетки.

Длина BM = $$\sqrt{1^2 + 1.5^2} = \sqrt{1 + 2.25} = \sqrt{3.25}$$

6. Проверка:

$$\sqrt{3.25} = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$$. Это совпадает.

Ответ: Длина отрезка BM равна $$\frac{\sqrt{13}}{2}$$ (или $$\sqrt{3.25}$$).