8. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 нарисован треугольник АВС. Найдите длину биссектрисы треугольника, выходящей из вершины А.

Решение:

На клетчатой бумаге точки имеют следующие координаты (предполагая, что точка A находится в начале координат (0,0)):

• A = (0, 0)
• B = (1, 3)
• C = (3, 1)

Найдем длины сторон треугольника:

• AB = \( \sqrt{(1-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \)
• AC = \( \sqrt{(3-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \)
• BC = \( \sqrt{(3-1)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)

Так как AB = AC, треугольник ABC — равнобедренный. Биссектриса, проведенная из вершины равнобедренного треугольника к основанию, является также медианой и высотой.

Найдем середину стороны BC:

• M = \( \left( \frac{1+3}{2}, \frac{3+1}{2} \right) = \left( \frac{4}{2}, \frac{4}{2} \right) = (2, 2) \)

Длина биссектрисы (она же медиана AM) равна расстоянию от A до M:

AM = \( \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \).

Ответ: \( 2\sqrt{2} \).