6. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 отмечены точки А, В и С. Найдите сумму углов АВС и САВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

На клетчатой бумаге точки имеют следующие координаты (предполагая, что точка А находится в начале координат (0,0)):

• A = (0, 0)
• B = (0, 2)
• C = (2, 2)

Найдем длины сторон треугольника:

• AB = \( \sqrt{(0-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{0 + 4} = 2 \)
• BC = \( \sqrt{(2-0)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{4 + 0} = 2 \)
• AC = \( \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)

Так как AB = BC, треугольник ABC — равнобедренный. Угол BAC и угол BCA равны.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точками A, (0,2) и C. Угол при вершине (0,2) равен 90 градусов. Вершина B находится в (0,2).

Угол ABC: Вектор BA = (0, -2), Вектор BC = (2, 0). Скалярное произведение BA · BC = 0*2 + (-2)*0 = 0. Следовательно, угол ABC = 90 градусов.

Угол BAC: Вектор AB = (0, 2), Вектор AC = (2, 2). Скалярное произведение AB · AC = 0*2 + 2*2 = 4. |AB| = 2, |AC| = \( 2\sqrt{2} \).

\( \cos(BAC) = \frac{AB · AC}{|AB| |AC|} = \frac{4}{2 · 2\sqrt{2}} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \). Следовательно, угол BAC = 45 градусов.

Угол BCA: Так как треугольник равнобедренный с AB=BC, то \( < BAC = < BCA = 45^\circ \).

Сумма углов треугольника ABC = \( 90^\circ + 45^\circ + 45^\circ = 180^\circ \).

Нам нужно найти сумму углов ABC и САВ.

\( < ABC + < CAB = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ \).

Ответ: 135 градусов.