7. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 нарисован треугольник АВС. Найдите сумму углов АВС и АСВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

На клетчатой бумаге точки имеют следующие координаты (предполагая, что точка A находится в начале координат (0,0)):

• A = (0, 0)
• B = (2, 3)
• C = (4, 0)

Найдем длины сторон треугольника:

• AB = \( \sqrt{(2-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \)
• BC = \( \sqrt{(4-2)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \)
• AC = \( \sqrt{(4-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{16} = 4 \)

Так как AB = BC, треугольник ABC — равнобедренный. Углы при основании AC равны: \( < BAC = < BCA \).

Найдем тангенс угла BAC, используя координаты точек:

\( \tan(< BAC) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} \)

Для угла BAC, рассмотрим прямоугольный треугольник с вершинами A(0,0), (2,0), B(2,3). Противолежащий катет = 3, прилежащий катет = 2.

\( \tan(< BAC) = \frac{3}{2} \).

\( < BAC = < BCA = < arctan(\frac{3}{2}) \approx 56.31^\circ \).

Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов.

\( < ABC + < BAC + < BCA = 180^\circ \)

\( < ABC = 180^\circ - (< BAC + < BCA) \)

\( < ABC = 180^\circ - 2 · < arctan(\frac{3}{2}) \approx 180^\circ - 2 · 56.31^\circ < < 180^\circ - 112.62^\circ < < 67.38^\circ \).

Нам нужно найти сумму углов ABC и ACB:

\( < ABC + < ACB = (180^\circ - 2 · < arctan(\frac{3}{2})) + < arctan(\frac{3}{2}) \)

\( = 180^\circ - < arctan(\frac{3}{2}) \approx 180^\circ - 56.31^\circ < < 123.69^\circ \).

Ответ: приблезительно 123.69 градусов.