8. Функция задана формулой f(x) = 2x + x²/2 - x³/3 . Решите неравенство f'(x) ≥ 0.

Решение:

1. Найдем производную функции \( f(x) \):
2. \[ f'(x) = (2x)' + \left(\frac{x^2}{2}\right)' - \left(\frac{x^3}{3}\right)' \]\[ f'(x) = 2 + \frac{2x}{2} - \frac{3x^2}{3} \]\[ f'(x) = 2 + x - x^2 \]
3. Теперь решим неравенство \( f'(x) \ge 0 \):
4. \[ 2 + x - x^2 \ge 0 \]
5. Умножим обе части на -1 и поменяем знак неравенства:
6. \[ x^2 - x - 2 \le 0 \]
7. Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - x - 2 = 0 \):
8. Дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \)
9. Корни: \( x_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1 \) и \( x_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \)
10. Так как ветви параболы \( y = x^2 - x - 2 \) направлены вверх, неравенство \( x^2 - x - 2 \le 0 \) выполняется для \( x \) между корнями, то есть \( -1 \le x \le 2 \).

Ответ: [-1; 2].