7. Найдите объем конуса, полученного в результате вращения прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной 2√6 см, и углом 30°.

Решение:

Пусть \( c = 2\sqrt{6} \) см — гипотенуза, \( \alpha = 30° \) — угол прилежащий к катету, который станет радиусом основания конуса при вращении. Тогда второй катет станет высотой конуса.

1. Найдем радиус основания конуса \( r \), который равен катету, противолежащему углу 30°:
2. \[ r = c \cdot \sin(\alpha) = 2\sqrt{6} \cdot \sin(30°) = 2\sqrt{6} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{6} \text{ см} \]
3. Найдем высоту конуса \( h \), которая равна катету, прилежащему к углу 30°:
4. \[ h = c \cdot \cos(\alpha) = 2\sqrt{6} \cdot \cos(30°) = 2\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \text{ см} \]
5. Объем конуса находится по формуле: \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \)
6. Подставим найденные значения:
7. \[ V = \frac{1}{3}\pi (\sqrt{6})^2 \cdot (3\sqrt{2}) = \frac{1}{3}\pi \cdot 6 \cdot 3\sqrt{2} = 6\pi\sqrt{2} \text{ см}^3 \]

Ответ: 6π√2 см³.