8. Диагональ АС ромба АВСД равна 36, а tgBCA = 4/3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение:

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Пусть точка пересечения диагоналей — O. Тогда \( AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{36}{2} = 18 \).

В прямоугольном треугольнике BOC:

\( tg \angle BCA = \frac{BO}{OC} \)

\( \frac{4}{3} = \frac{BO}{18} \)

\( BO = \frac{4}{3} \cdot 18 = 4 \cdot 6 = 24 \).

Диагональ BD равна \( 2 \cdot BO = 2 \cdot 24 = 48 \).

Площадь ромба S равна \( \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 48 = 18 \cdot 48 = 864 \).

Также площадь ромба равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности \( S = p \cdot r \).

Сторона ромба \( BC = \sqrt{BO^2 + OC^2} = \sqrt{24^2 + 18^2} = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30 \).

Полупериметр \( p = \frac{4 \cdot 30}{2} = 2 \cdot 30 = 60 \).

\( r = \frac{S}{p} = \frac{864}{60} = \frac{144}{10} = 14.4 \).

Ответ: 14.4