8. Делится ли число 54¹⁷ на 350 нацело? Ответ:

Решение:

Для того чтобы число \( 54^{17} \) делилось нацело на 350, оно должно делиться на простые множители числа 350. Разложим 350 на простые множители:

\( 350 = 35 \cdot 10 = (5 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 5^2 \cdot 7 \)

Теперь рассмотрим число \( 54^{17} \). Разложим основание степени 54 на простые множители:

\( 54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3 \)

Тогда \( 54^{17} = (2 \cdot 3^3)^{17} = 2^{17} \cdot (3^3)^{17} = 2^{17} \cdot 3^{51} \)

Чтобы \( 54^{17} \) делилось на \( 350 = 2 \cdot 5^2 \cdot 7 \), в разложении \( 54^{17} \) должны присутствовать множители \( 2 \), \( 5^2 \) и \( 7 \).

В разложении \( 54^{17} = 2^{17} \cdot 3^{51} \) есть множитель \( 2^{17} \) (что достаточно, так как нужен только \( 2^1 \)) и множитель \( 3^{51} \).

Однако, в разложении \( 54^{17} \) отсутствуют множители \( 5 \) и \( 7 \).

Следовательно, число \( 54^{17} \) не делится нацело на 350.

Ответ: Нет