7. На числовой прямой отмечены числа 2 --- b , 5 --- a и 10 --- с (см. рис. 31). 5 - b a 0 10 - c Рис. 31. Расположите в порядке убывания числа а, в, с. Ответ:

Решение:

Из рисунка видно, что числа расположены на числовой прямой следующим образом:

\( \frac{2}{b} < \frac{5}{a} < 0 < \frac{10}{c} \)

Так как \( \frac{10}{c} > 0 \), то \( c \) должно быть положительным числом.

Так как \( \frac{5}{a} < 0 \), то \( a \) должно быть отрицательным числом (числитель 5 положительный).

Так как \( \frac{2}{b} < 0 \) и \( \frac{5}{a} < 0 \), а \( \frac{5}{a} \) расположено правее \( \frac{2}{b} \), то \( \frac{2}{b} \) — самое отрицательное из отмеченных чисел.

Из \( \frac{2}{b} < 0 \) следует, что \( b \) должно быть отрицательным числом (числитель 2 положительный).

Теперь определим значения \( a, b, c \).

Из \( \frac{10}{c} > 0 \), при \( c \) положительном, \( c \) может быть любым положительным числом. Но нам нужно сравнить \( a, b, c \), поэтому обратим внимание на относительное положение дробей.

Так как \( \frac{5}{a} < 0 \), то \( a \) отрицательное.

Так как \( \frac{2}{b} < \frac{5}{a} < 0 \), то \( b \) отрицательное.

Нам нужно сравнить \( a \) и \( b \). Относительно \( \frac{5}{a} \) и \( \frac{2}{b} \) мы знаем, что \( \frac{2}{b} < \frac{5}{a} \). Если \( b \) и \( a \) отрицательные, то, чтобы \( \frac{2}{b} \) было меньше \( \frac{5}{a} \), \( b \) должно быть «больше» (ближе к нулю) чем \( a \) по абсолютной величине, или \( b \) должно быть меньше \( a \) по значению.

Например, если \( a = -1 \), то \( \frac{5}{a} = -5 \). Если \( b = -0.5 \), то \( \frac{2}{b} = \frac{2}{-0.5} = -4 \), что больше -5. Значит \( b \) должно быть более отрицательным, чем \( a \).

Рассмотрим соотношение \( \frac{2}{b} < \frac{5}{a} \). Умножим на \( ab \). Поскольку \( a < 0 \) и \( b < 0 \), то \( ab > 0 \).

\( 2a < 5b \)

\( a < \frac{5}{2} b \)

Поскольку \( b < 0 \), то \( \frac{5}{2} b < 0 \). Из \( a < \frac{5}{2} b \) следует, что \( a \) меньше \( \frac{5}{2} b \).

Если \( b = -1 \), то \( a < -2.5 \). Например, \( a = -3 \).

Если \( a = -3 \), \( b = -1 \), \( c = 1 \), то:

\( \frac{2}{b} = \frac{2}{-1} = -2 \)

\( \frac{5}{a} = \frac{5}{-3} = -1.66... \)

\( \frac{10}{c} = \frac{10}{1} = 10 \)

На числовой прямой: \( -2 < -1.66... < 0 < 10 \). Это соответствует условию.

Значит, \( a = -3, b = -1, c = 1 \). В порядке убывания: \( c > b > a \).

Ответ: c, b, a