8. Делится ли число 48²³ на 2⁹⁰ нацело?

Решение:

Чтобы определить, делится ли \( 48^{23} \) на \( 2^{90} \) нацело, нужно разложить основание числа \( 48 \) на простые множители:

\[ 48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3 \]

Теперь возведём \( 48^{23} \) в степень:

\[ 48^{23} = (2^4 \cdot 3)^{23} = (2^4)^{23} \cdot 3^{23} = 2^{4 \cdot 23} \cdot 3^{23} = 2^{92} \cdot 3^{23} \]

Теперь сравним показатель степени двойки в разложении \( 48^{23} \) с показателем степени двойки в делителе \( 2^{90} \).

У нас есть \( 2^{92} \) и нужно разделить на \( 2^{90} \).

\[ \frac{2^{92} \cdot 3^{23}}{2^{90}} = 2^{92-90} \cdot 3^{23} = 2^2 \cdot 3^{23} = 4 \cdot 3^{23} \]

Результат деления является целым числом, так как \( 2^2 \) и \( 3^{23} \) — целые числа.

Ответ: Да, делится.