Контрольные задания > 8. ∠AMB — ?
Вопрос:

8. ∠AMB — ?

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение:

В данной задаче M — точка вне окружности, из которой проведены две касательные к окружности в точках A и B. OA и OB — радиусы, перпендикулярные касательным.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Рассмотрим треугольник ΔOAM. OA — радиус, AM — касательная. Следовательно, OA ⊥ AM, и ∠OAM = 90°.
  2. Шаг 2: Аналогично, в треугольнике ΔOBM, OB ⊥ BM, и ∠OBM = 90°.
  3. Шаг 3: Треугольники ΔOAM и ΔOBM равны по гипотенузе (OM) и катету (OA = OB, так как это радиусы).
  4. Шаг 4: Из равенства треугольников следует, что AM = BM и ∠AMO = ∠BMO.
  5. Шаг 5: На рисунке отмечено, что отрезок OM проходит через середину радиуса OB (или OA). Это означает, что расстояние от O до середины радиуса равно половине радиуса. Пусть радиус равен r. Тогда OB = r. Расстояние от O до середины OB равно r/2.
  6. Шаг 6: В прямоугольном треугольнике ΔOBM, OB = r. OM = OB + (r/2) = r + r/2 = 3r/2.
  7. Шаг 7: Используем теорему Пифагора в ΔOBM:
    \( OB^2 + BM^2 = OM^2 \)
    \( r^2 + BM^2 = (3r/2)^2 \)
    \( r^2 + BM^2 = 9r^2/4 \)
    \( BM^2 = rac{9r^2}{4} - r^2 = rac{9r^2 - 4r^2}{4} = rac{5r^2}{4} \)
    \( BM = rac{ ext{r} ext{\sqrt{5}}}{2} \).
  8. Шаг 8: Так как AM = BM, то AM = \( rac{ ext{r} ext{\sqrt{5}}}{2} \).
  9. Шаг 9: Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔOAM. Мы можем найти угол ∠AMO, используя тригонометрию.
    \( an( ext{∠AMO}) = rac{OA}{AM} = rac{r}{ rac{ ext{r} ext{\sqrt{5}}}{2}} = rac{2}{ ext{\sqrt{5}}} \).
  10. Шаг 10: Угол ∠AMB = 2 * ∠AMO.
  11. Шаг 11: Найдем ∠AMO = arctan(\( rac{2}{ ext{r} ext{\sqrt{5}}} \)).
    \( ext{∠AMO} = ext{arctan} ext{(} rac{2}{ ext{\sqrt{5}}} ext{)} ext{ ≈ } 41.81° \).
  12. Шаг 12: \( ext{∠AMB} = 2 imes ext{∠AMO} ext{ ≈ } 2 imes 41.81° ext{ ≈ } 83.62° \).
  13. Шаг 13: Проверим условие про серединные отметки на радиусе. Если бы O, середина OB, M лежали на одной прямой, то OM = 1.5 * OB. Это верно.
  14. Шаг 14: Угол ∠AOM.
    \( an( ext{∠AOM}) = rac{AM}{OA} = rac{ rac{ ext{r} ext{\sqrt{5}}}{2}}{r} = rac{ ext{\sqrt{5}}}{2} \).
    \( ext{∠AOM} = ext{arctan} ext{(} rac{ ext{\sqrt{5}}}{2} ext{)} ext{ ≈ } 48.19° \).
  15. Шаг 15: \( ext{∠AMB} = 2 imes ext{∠AMO} \). В треугольнике OAM, \( ext{∠AOM} + ext{∠AMO} = 90° \).
    \( 48.19° + 41.81° = 90° \).
  16. Шаг 16: ∠AMB = 2 * ∠AMO = 2 * 41.81° ≈ 83.62°.
  17. Шаг 17: Из рисунка видно, что OM проходит через середину радиуса OA (или OB). Пусть OA = OB = r. Тогда O, середина OA, M лежат на одной прямой. И OM = 1.5 * OA.
  18. Шаг 18: В прямоугольном треугольнике OAM,
    \( an( ext{∠AMO}) = rac{OA}{AM} \).
    \( an( ext{∠AOM}) = rac{AM}{OA} \).
    \( OM = rac{3}{2}r \).
    \( ext{cos}( ext{∠AMO}) = rac{AM}{OM} = rac{AM}{ rac{3}{2}r} \).
    \( ext{sin}( ext{∠AMO}) = rac{OA}{OM} = rac{r}{ rac{3}{2}r} = rac{2}{3} \).
  19. Шаг 19: \( ext{∠AMO} = ext{arcsin}( rac{2}{3}) \).
    \( ext{∠AMB} = 2 imes ext{arcsin}( rac{2}{3}) \).
    \( ext{arcsin}( rac{2}{3}) ext{ ≈ } 41.81° \).
  20. Шаг 20: \( ext{∠AMB} ext{ ≈ } 2 imes 41.81° ext{ ≈ } 83.62° \).

Ответ: ∠AMB ≈ 83.62°

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю

Похожие