7. ∠ACB = 90°, AB = 25, AE — ?

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: В прямоугольном треугольнике ABC, AB = 25. CD является высотой, проведенной к гипотенузе.
2. Шаг 2: По условию, CD = 12.
3. Шаг 3: Используем свойство высоты прямоугольного треугольника: квадрат высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу.
   \( CD^2 = AD imes DB \)
   \( 12^2 = AD imes DB \)
   \( 144 = AD imes DB \)
4. Шаг 4: Также в прямоугольном треугольнике ABC, квадрат катета равен произведению гипотенузы и отрезка, прилежащего к этому катету.
   \( AC^2 = AD imes AB \)
   \( BC^2 = DB imes AB \)
5. Шаг 5: Применим теорему Пифагора: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \)
   \( (AD imes AB) + (DB imes AB) = AB^2 \)
   \( AB imes (AD + DB) = AB^2 \)
   \( AB imes AB = AB^2 \), что подтверждает корректность формул.
6. Шаг 6: Нам нужно найти AE. Точка D находится на окружности. AC и BC — хорды. CD — высота.
7. Шаг 7: По теореме о среднем геометрическом высоты в прямоугольном треугольнике: \( CD = rac{AC imes BC}{AB} \).
   \( 12 = rac{AC imes BC}{25} \)
   \( AC imes BC = 300 \).
8. Шаг 8: Также, \( AC^2 = AD imes 25 \) и \( BC^2 = DB imes 25 \).
9. Шаг 9: Из \( 144 = AD imes DB \) и \( AD + DB = 25 \) (так как AB = 25), мы можем решить систему уравнений.
   Подставим \( DB = 25 - AD \) в первое уравнение: \( 144 = AD imes (25 - AD) \)
   \( 144 = 25AD - AD^2 \)
   \( AD^2 - 25AD + 144 = 0 \).
10. Шаг 10: Решаем квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-25)^2 - 4 imes 1 imes 144 = 625 - 576 = 49 \).
    \( AD = rac{25 ext{±}\sqrt{49}}{2} = rac{25 ext{±}7}{2} \).
    \( AD_1 = rac{25+7}{2} = rac{32}{2} = 16 \) и \( AD_2 = rac{25-7}{2} = rac{18}{2} = 9 \).
11. Шаг 11: Если AD = 16, то DB = 25 - 16 = 9. Если AD = 9, то DB = 25 - 9 = 16.
12. Шаг 12: В прямоугольном треугольнике ADC, \( AC^2 = AD^2 + CD^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400 \) или \( AC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \).
    Следовательно, \( AC = ext{\sqrt{400}} = 20 \) или \( AC = ext{\sqrt{225}} = 15 \).
13. Шаг 13: Аналогично, \( BC^2 = DB^2 + CD^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \) или \( BC^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400 \).
    Следовательно, \( BC = 15 \) или \( BC = 20 \).
14. Шаг 14: Поскольку AC = 20 и BC = 15 (или наоборот), проверим: \( AC imes BC = 20 imes 15 = 300 \), что совпадает с результатом из Шага 7.
15. Шаг 15: E — точка на AC, D — на AB. CD — высота. AD = 16 (или 9), CD = 12. E — точка на AC.
    Треугольник ADE подобен треугольнику ABC.
    \( rac{AE}{AC} = rac{AD}{AB} \)
    \( AE = rac{AD imes AC}{AB} \)
16. Шаг 16: Если AD = 16 и AC = 20:
    \( AE = rac{16 imes 20}{25} = rac{320}{25} = rac{64}{5} = 12.8 \).
17. Шаг 17: Если AD = 9 и AC = 15:
    \( AE = rac{9 imes 15}{25} = rac{135}{25} = rac{27}{5} = 5.4 \).
18. Шаг 18: Из рисунка видно, что точка D ближе к B, чем к A, поэтому AD = 9 и DB = 16. Также, AC > BC, значит AC = 15 и BC = 20.
    Но в прямоугольном треугольнике ABC, если AD=9, то AC^2 = AD * AB = 9 * 25 = 225, AC = 15. Если DB=16, то BC^2 = DB * AB = 16 * 25 = 400, BC = 20. Это соответствует рисунку.
19. Шаг 19: В этом случае, AD = 9, AC = 15, AB = 25.
    \( AE = rac{AD imes AC}{AB} = rac{9 imes 15}{25} = rac{135}{25} = 5.4 \).

Ответ: AE = 5.4