771. Решите систему уравнений: в) {x^2 + y^2 = 34, {xy = 15;

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Преобразование первого уравнения.
   Возведем в квадрат сумму \( x+y \):
   \( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)
   Перегруппируем слагаемые:
   \( (x+y)^2 = (x^2 + y^2) + 2xy \)
2. Шаг 2: Подстановка известных значений.
   Из второго уравнения системы знаем, что \( xy = 15 \), а из первого \( x^2 + y^2 = 34 \). Подставим эти значения:
   \( (x+y)^2 = 34 + 2(15) \)
   \( (x+y)^2 = 34 + 30 \)
   \( (x+y)^2 = 64 \)
3. Шаг 3: Находим возможные значения суммы x+y.
   Из \( (x+y)^2 = 64 \) следует, что:
   \( x+y = 8 \) или \( x+y = -8 \)
4. Шаг 4: Составление и решение новых систем.
   Теперь у нас есть две возможные системы, каждая из которых состоит из линейного и нелинейного уравнений:
   Система 1:
   \( \begin{cases} x + y = 8 \\ xy = 15 \end{cases} \)
   Это классическая система, где сумма равна 8, а произведение равно 15. Корни такого уравнения \( t^2 - 8t + 15 = 0 \) равны 3 и 5. Следовательно, пары \( (x,y) \) могут быть \( (3, 5) \) или \( (5, 3) \).
   
   Система 2:
   \( \begin{cases} x + y = -8 \\ xy = 15 \end{cases} \)
   Здесь сумма равна -8, а произведение равно 15. Корни уравнения \( t^2 + 8t + 15 = 0 \) равны -3 и -5. Следовательно, пары \( (x,y) \) могут быть \( (-3, -5) \) или \( (-5, -3) \).

Ответ: (3; 5), (5; 3), (-3; -5), (-5; -3).