771. Решите систему уравнений: г) {x^2 - y^2 = 12, {xy = 8.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Выражение переменной.
   Из второго уравнения \( xy = 8 \) выразим \( y \) (предполагая, что \( x ≠ 0 \), иначе \( xy \) было бы 0):
   \( y = rac{8}{x} \)
2. Шаг 2: Подстановка в первое уравнение.
   Подставим \( y = rac{8}{x} \) в первое уравнение \( x^2 - y^2 = 12 \):
   \( x^2 - ig(rac{8}{x}ig)^2 = 12 \)
   \( x^2 - rac{64}{x^2} = 12 \)
3. Шаг 3: Решение уравнения с дробно-рациональными выражениями.
   Умножим обе части уравнения на \( x^2 \) (так как \( x ≠ 0 \)):
   \( x^2 ∙ x^2 - x^2 ∙ rac{64}{x^2} = 12 ∙ x^2 \)
   \( x^4 - 64 = 12x^2 \)
4. Шаг 4: Приведение к биквадратному уравнению.
   Перенесем все члены в одну сторону:
   \( x^4 - 12x^2 - 64 = 0 \)
   Сделаем замену переменной: пусть \( t = x^2 \) (где \( t ≥ 0 \), так как \( x^2 \) не может быть отрицательным).
   \( t^2 - 12t - 64 = 0 \)
5. Шаг 5: Решение квадратного уравнения для t.
   Найдем корни квадратного уравнения \( t^2 - 12t - 64 = 0 \) с помощью дискриминанта:
   \( D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4(1)(-64) = 144 + 256 = 400 \)
   \( √{D} = 20 \)
   \( t_1 = rac{-b + √{D}}{2a} = rac{12 + 20}{2 ∙ 1} = rac{32}{2} = 16 \)
   \( t_2 = rac{-b - √{D}}{2a} = rac{12 - 20}{2 ∙ 1} = rac{-8}{2} = -4 \)
6. Шаг 6: Возврат к переменной x.
   Так как \( t = x^2 \), нам подходит только \( t_1 = 16 \) (поскольку \( t ≥ 0 \)).
   \( x^2 = 16 \)
   Отсюда получаем два значения для \( x \):
   \( x_1 = 4 \) и \( x_2 = -4 \)
7. Шаг 7: Находим значения y.
   Используем \( y = rac{8}{x} \):
   Если \( x_1 = 4 \), то \( y_1 = rac{8}{4} = 2 \).
   Если \( x_2 = -4 \), то \( y_2 = rac{8}{-4} = -2 \).

Ответ: (4; 2) и (-4; -2).