7. Запишите уравнение прямой, параллельной прямой y = 2x - 7 и проходящей через точку А (4; 7). На вопрос о том, сколько лет ему и его брату, Федор ответил: «Вместе нам 20 лет, а 4 года назад я был в 2 раза старше брата. Посчитайте, сколько лет каждому из нас».

Решение (Часть 1: Уравнение прямой):

Параллельная прямая имеет тот же угловой коэффициент \( k \). У данной прямой \( y = 2x - 7 \) угловой коэффициент \( k = 2 \).

Уравнение искомой прямой будет иметь вид \( y = 2x + b \).

Так как прямая проходит через точку \( A(4; 7) \), подставим её координаты в уравнение:

1. \( 7 = 2 \cdot 4 + b \)
2. \( 7 = 8 + b \)
3. \( b = 7 - 8 = -1 \).

Таким образом, уравнение искомой прямой: \( y = 2x - 1 \).

Решение (Часть 2: Возраст):

Пусть \( x \) — возраст Фёдора сейчас, а \( y \) — возраст его брата сейчас.

По условию задачи составляем систему уравнений:

1. \( x + y = 20 \) (Вместе им 20 лет).
2. \( x - 4 = 2(y - 4) \) (4 года назад Фёдор был в 2 раза старше брата).

Преобразуем второе уравнение:

• \( x - 4 = 2y - 8 \)
• \( x = 2y - 8 + 4 \)
• \( x = 2y - 4 \).

Подставим полученное выражение для \( x \) в первое уравнение:

• \( (2y - 4) + y = 20 \)
• \( 3y - 4 = 20 \)
• \( 3y = 24 \)
• \( y = 8 \).

Найдем возраст Фёдора:

• \( x = 20 - y = 20 - 8 = 12 \).

Проверка:

• Сейчас: Фёдору 12 лет, брату 8 лет. Вместе: \( 12 + 8 = 20 \).
• 4 года назад: Фёдору было \( 12 - 4 = 8 \) лет, брату было \( 8 - 4 = 4 \) года. \( 8 = 2 \cdot 4 \), то есть Фёдор был в 2 раза старше.

Ответ: Уравнение прямой: \( y = 2x - 1 \). Фёдору 12 лет, его брату 8 лет.