7 Запиши следующие два члена ряда так, чтобы сохранялась закономерность: a) 2; 5; 11; 23; 47 ... б) \(\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{4}{9}; \frac{8}{23} ...\) в) 8,01; 8,002; 8,0003 ... г) \(1 \frac{2}{3}; 12 \frac{3}{4}; 123 \frac{4}{5} ...\)

Задание 7

Найдем закономерности и запишем следующие два члена ряда:

1. Ряд: 2; 5; 11; 23; 47 ... Закономерность: Каждый следующий член ряда получается умножением предыдущего на 2 и прибавлением 1. \( (n \times 2) + 1 \).
   • \( 2 \times 2 + 1 = 5 \)
   • \( 5 \times 2 + 1 = 11 \)
   • \( 11 \times 2 + 1 = 23 \)
   • \( 23 \times 2 + 1 = 47 \)
   Следующие два члена:
   • \( 47 \times 2 + 1 = 94 + 1 = 95 \)
   • \( 95 \times 2 + 1 = 190 + 1 = 191 \)
   Ряд: 2; 5; 11; 23; 47; 95; 191 ...
2. Ряд: \(\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{4}{9}; \frac{8}{23} ...\) Закономерность: Числитель удваивается, а знаменатель умножается на 3. \( \frac{a}{b} \rightarrow \frac{2a}{3b} \).
   • \(\frac{1 \times 2}{2 \times 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) — Ошибка в задании. Если предположить, что закономерность \( \frac{a}{b} \rightarrow \frac{2a}{b \times 3} \) то:
   • \(\frac{1}{2} \rightarrow \frac{1 \times 2}{2 \times 3} = \frac{2}{6} \) - не совпадает с \(\frac{2}{3}\)
   • Если закономерность \( \frac{a}{b} \rightarrow \frac{2a}{b+1} \) то:
   • \(\frac{1}{2} \rightarrow \frac{2}{3} \)
   • \(\frac{2}{3} \rightarrow \frac{4}{4} = 1 \) - не совпадает с \(\frac{4}{9}\)
   • Если закономерность \( \frac{a}{b} \rightarrow \frac{2a}{3^{n-1}} \) где n - номер члена ряда.
   • \(\frac{1}{2^1} \rightarrow \frac{2}{3^1} = \frac{2}{3} \)
   • \(\frac{2}{3} \rightarrow \frac{4}{3^2} = \frac{4}{9} \)
   • \(\frac{4}{9} \rightarrow \frac{8}{3^3} = \frac{8}{27} \) - не совпадает с \(\frac{8}{23}\).
   • Предположим, что знаменатель умножается на 2, а затем на 3, на 2, на 3...
   • \(\frac{1}{2} \rightarrow \frac{1 \times 2}{2 \times 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) - не совпадает
   • Предположим, что знаменатель увеличивается на 1, потом на 2, потом на 3...
   • \(\frac{1}{2} \rightarrow \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3} \)
   • \(\frac{2}{3} \rightarrow \frac{4}{3+2} = \frac{4}{5} \) - не совпадает
   • Предположим, что в знаменателе степени тройки: \( 3^0=1, 3^1=3, 3^2=9, 3^3=27 \)
   • \(\frac{1}{?} \rightarrow \frac{2}{3} \)
   • \(\frac{2}{3} \rightarrow \frac{4}{9} \)
   • \(\frac{4}{9} \rightarrow \frac{8}{27} \)
   • Будем считать, что в знаменателе пропущена закономерность.
   • Закономерность: Числитель умножается на 2. Знаменатель: \(2, 3, 9, 23\). Разности: \(1, 6, 14\). Разности вторых: \(5, 8\). Если следующие разности будут \(11, 14\) то следующая разность \(14+11=25\) знаменатель \(23+25=48\).
   • Следующие два члена: \(\frac{8 \times 2}{23 + 25} = \frac{16}{48} = \frac{1}{3}\) и \(\frac{16 \times 2}{48 + (25+11)} = \frac{32}{48+36} = \frac{32}{84} = \frac{8}{21}\).
   • Ряд: \(\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{4}{9}; \frac{8}{23}; \frac{16}{48}; \frac{32}{84} ...\)
3. Ряд: 8,01; 8,002; 8,0003 ... Закономерность: К целой части (8) прибавляется дробная часть, которая уменьшается в 10 раз с каждым членом ряда, добавляя нули между целой частью и цифрой. \( 8 + 0.01; 8 + 0.002; 8 + 0.0003 \)
4. Ряд: 8,01; 8,002; 8,0003 ... Закономерность: Целая часть остается прежней (8). Дробная часть: \(0,01; 0,002; 0,0003\). В дробной части увеличивается количество нулей между 8 и цифрой.
5. Следующие два члена:
   • \( 8 + 0,00003 = 8,00003 \)
   • \( 8 + 0,000004 = 8,000004 \)
   Ряд: 8,01; 8,002; 8,0003; 8,00003; 8,000004 ...
6. Ряд: \(1 \frac{2}{3}; 12 \frac{3}{4}; 123 \frac{4}{5} ...\) Закономерность: Целая часть образуется путем приписывания следующей цифры (1, 12, 123). Дробная часть — \(\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}\), где числитель и знаменатель увеличиваются на 1.
7. Следующие два члена:
   • Целая часть: 1234. Дробная часть: \(\frac{5}{6}\). Получаем \(1234 \frac{5}{6}\).
   • Целая часть: 12345. Дробная часть: \(\frac{6}{7}\). Получаем \(12345 \frac{6}{7}\).
   Ряд: \(1 \frac{2}{3}; 12 \frac{3}{4}; 123 \frac{4}{5}; 1234 \frac{5}{6}; 12345 \frac{6}{7} ...\)