7. Задача. У герметичній посудині міститься газ під тиском 150 кПа. На скільки відсотків збільшиться тиск газу, якщо середня квадратична швидкість його молекул зросте на 20%?

Дано:

\( p_1 = 150 \text{ кПа} \)

\( v_{ кв. ср.2} = 1.2 v_{ кв. ср.1} \) (зростання на 20%)

Знайти:

% збільшення тиску

Розв'язок:

З основного рівняння МКТ тиск газу пропорційний середньому квадрату швидкості молекул:

\[ p = \frac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle \]

Оскільки посудина герметична, концентрація \( n \) та маса однієї молекули \( m_0 \) залишаються сталими. Отже, тиск газу прямо пропорційний середньому квадрату швидкості молекул:

\[ p \propto \langle v^2 \rangle \]

Також, середня квадратична швидкість \( v_{ кв. ср.} = \sqrt{\langle v^2 \rangle} \), тому \( \langle v^2 \rangle = v_{ кв. ср.}^2 \).

Таким чином, тиск газу прямо пропорційний квадрату середньої квадратичної швидкості:

\[ p \propto v_{ кв. ср.}^2 \]

Якщо середня квадратична швидкість зросла на 20%, то нова швидкість буде:

\[ v_{ кв. ср.2} = v_{ кв. ср.1} \cdot (1 + 0.20) = 1.2 v_{ кв. ср.1} \]

Тоді новий тиск \( p_2 \) буде співвідноситися з початковим тиском \( p_1 \) так:

\[ \frac{p_2}{p_1} = \frac{v_{ кв. ср.2}^2}{v_{ кв. ср.1}^2} = \frac{(1.2 v_{ кв. ср.1})^2}{v_{ кв. ср.1}^2} = \frac{1.44 v_{ кв. ср.1}^2}{v_{ кв. ср.1}^2} = 1.44 \]

Отже, \( p_2 = 1.44 p_1 \).

Збільшення тиску становить:

\[ \frac{p_2 - p_1}{p_1} \cdot 100 \% = \frac{1.44 p_1 - p_1}{p_1} \cdot 100 \% = \frac{0.44 p_1}{p_1} \cdot 100 \% = 44 \% \]

Відповідь: Тиск газу збільшиться на 44%.