7. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90°, один из катетов равен α. Докажите, что sin 30° = cos 60°.

В прямоугольном треугольнике с углами 30° и 60° сторона, лежащая напротив угла 30°, в два раза меньше гипотенузы.

По определению синуса:

\(\sin30^\circ=\frac{\text{катет, противолежащий углу }30^\circ}{\text{гипотенуза}}=\frac12\).

По определению косинуса:

\(\cos60^\circ=\frac{\text{катет, прилежащий к углу }60^\circ}{\text{гипотенуза}}=\frac12\).

Следовательно, \(\sin30^\circ=\cos60^\circ=\frac12\).