7. Упростите выражение \((a + 6)^2 - 3a(4 - 5a)\) и найдите его значение при $$a = -\frac{1}{4}$$

Решение:

1. Раскроем квадрат суммы:
   Используем формулу \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
   \[ (a + 6)^2 = a^2 + 2 \times a \times 6 + 6^2 = a^2 + 12a + 36 \]
2. Раскроем произведение:
   Умножим $$-3a$$ на каждое слагаемое в скобках $$(4 - 5a)$$.
   \[ -3a(4 - 5a) = (-3a \times 4) + (-3a \times -5a) = -12a + 15a^2 \]
3. Объединим результаты и упростим выражение:
   Теперь сложим оба полученных выражения:
   \[ (a^2 + 12a + 36) + (-12a + 15a^2) \]
   Сгруппируем подобные слагаемые:
   \[ (a^2 + 15a^2) + (12a - 12a) + 36 \]
   \[ 16a^2 + 0 + 36 \]
   \[ 16a^2 + 36 \]
4. Подставим значение $$a = -\frac{1}{4}$$:
   Теперь, когда выражение упрощено, подставим данное значение 'a'.
   \[ 16 \left(-\frac{1}{4}\right)^2 + 36 \]
5. Вычислим:
   Сначала возведем в квадрат:
   \[ \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{(-1)^2}{4^2} = \frac{1}{16} \]
   Теперь подставим это обратно:
   \[ 16 \times \frac{1}{16} + 36 \]
   Сократим 16:
   \[ 1 + 36 = 37 \]

Ответ: 37