7. Упростите выражение: (2/(x²-4) + 1/(2x-x²)) : 1/(x²+4x+4)

Решение:

1. Приведем дроби в первой скобке к общему знаменателю:
2. Знаменатели: x² - 4 и 2x - x².
3. Разложим их: x² - 4 = (x - 2)(x + 2).
4. 2x - x² = x(2 - x) = -x(x - 2).
5. Общий знаменатель будет x(x - 2)(x + 2).
6. Первая дробь: 2 / ((x - 2)(x + 2)). Чтобы получить общий знаменатель, умножим числитель и знаменатель на x: (2 ⋅ x) / (x(x - 2)(x + 2)) = 2x / (x(x - 2)(x + 2)).
7. Вторая дробь: 1 / (-x(x - 2)). Чтобы получить общий знаменатель, умножим числитель и знаменатель на (x + 2): (1 ⋅ (x + 2)) / (-x(x - 2)(x + 2)) = (x + 2) / (-x(x - 2)(x + 2)).
8. Сложим числители: (2x) + (x + 2) / (x(x - 2)(x + 2)).
9. 2x + x + 2 = 3x + 2.
10. Выражение в первой скобке: (3x + 2) / (x(x - 2)(x + 2)).
11. Упростим вторую дробь (делитель):
12. Знаменатель: x² + 4x + 4 = (x + 2)² = (x + 2)(x + 2).
13. Дробь: 1 / ((x + 2)(x + 2)).
14. Разделим первую дробь на вторую (умножим на обратную):
15. (3x + 2) / (x(x - 2)(x + 2)) ⋅ ((x + 2)(x + 2)) / 1
16. Сократим (x + 2):
17. (3x + 2) / (x(x - 2)) ⋅ (x + 2) / 1
18. (3x + 2)(x + 2) / (x(x - 2))
19. Раскроем скобки в числителе:
20. 3x² + 6x + 2x + 4 = 3x² + 8x + 4
21. Итоговое выражение: (3x² + 8x + 4) / (x² - 2x)

Ответ: (3x² + 8x + 4) / (x² - 2x)