7. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.

Question

Accepted Answer

Это задача на арифметическую прогрессию. Обозначим:

\( a_1 \) — расстояние, пройденное в первый день. \( a_1 = 10 \) км.
\( d \) — разность арифметической прогрессии (ежедневное увеличение расстояния).
\( n \) — количество дней. \( n = 6 \).
\( S_n \) — общее расстояние. \( S_6 = 120 \) км.

Формула суммы арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n \]

Подставим известные значения:

\[ 120 = \frac{2 \cdot 10 + d(6-1)}{2} \cdot 6 \]

Упростим уравнение:

\[ 120 = (20 + 5d) \cdot 3 \]

Разделим обе части на 3:

\[ 40 = 20 + 5d \]

Найдем \( d \):

\[ 5d = 40 - 20 \]

\( 5d = 20 \)
\( d = 4 \) км.

Теперь найдем расстояние, пройденное за третий день (\( a_3 \)). Формула n-го члена арифметической прогрессии:

\[ a_n = a_1 + d(n-1) \]

Для третьего дня (\( n = 3 \)):

\[ a_3 = a_1 + d(3-1) \]

\( a_3 = 10 + 4 \cdot 2 \)
\( a_3 = 10 + 8 \)
\( a_3 = 18 \) км.

Ответ: 18 км