7. Тип 16 № 353410. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 64°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть касательные, проведенные к окружности в точках А и В, пересекаются в точке С. По условию \( \angle ACB = 64^{\circ} \).

Так как СА и СВ — касательные к окружности, то радиусы ОА и ОВ, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным. Следовательно, \( \angle OAC = 90^{\circ} \) и \( \angle OBC = 90^{\circ} \).

Рассмотрим четырехугольник ОАСВ. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.

\( \angle AOB + \angle OAC + \angle ACB + \angle OBC = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB + 90^{\circ} + 64^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB + 244^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB = 360^{\circ} - 244^{\circ} = 116^{\circ} \).

Теперь рассмотрим треугольник АОВ. Так как ОА и ОВ — радиусы окружности, то \( OA = OB \). Следовательно, треугольник АОВ — равнобедренный.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle OAB = \angle OBA \).

Сумма углов в треугольнике равна 180°:

\( \angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^{\circ} \)

\( 116^{\circ} + \angle OBA + \angle OBA = 180^{\circ} \)

\( 2 \cdot \angle OBA = 180^{\circ} - 116^{\circ} \)

\( 2 \cdot \angle OBA = 64^{\circ} \)

\( \angle OBA = \frac{64^{\circ}}{2} = 32^{\circ} \).

Ответ: 32°.