7. Рис. 608. Дано: MN: МК = 5:3, AC + BC = 48. Найти: MN, МК.

Привет! Давай разбираться с этой задачей.

Дано:

• \[ \triangle ABC \]
• \[ MN \parallel AC \]
• \[ MK \parallel BC \]
• \[ MN:MK = 5:3 \]
• \[ AC + BC = 48 \]

Найти:

• \[ MN, MK \]

Решение:

1. Свойства параллельных отрезков: Так как \[ MN \parallel AC \] и \[ MK \parallel BC \], то четырехугольник MNKC является параллелограммом.
2. Свойства параллелограмма: Противоположные стороны параллелограмма равны. Следовательно, \[ MK = NC \] и \[ MN = KC \].
3. Соотношение сторон: Из условия \[ MN:MK = 5:3 \] следует, что \[ MN = 5x \] и \[ MK = 3x \] для некоторого коэффициента x.
4. Длины сторон:
• \[ AC = KC + AK = MN + AK = 5x + AK \]
• \[ BC = BN + NC = BN + MK = BN + 3x \]
5. Анализ рисунка: На рисунке видно, что точки N и K являются серединами сторон BC и AC соответственно. Если это так, то MN и MK являются средними линиями треугольника ABC.
6. Свойства средней линии: Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна половине основания.
• Если MN — средняя линия, то \[ MN = \frac{1}{2} AC \].
• Если MK — средняя линия, то \[ MK = \frac{1}{2} BC \].
7. Проверка соотношения: Подставим эти соотношения в данное \[ MN:MK = 5:3 \]:

\[ \frac{1}{2} AC : \frac{1}{2} BC = 5:3 \]

\[ AC : BC = 5:3 \]

Из этого следует, что \[ AC = 5y \] и \[ BC = 3y \] для некоторого коэффициента y.

8. Используем сумму сторон: По условию, \[ AC + BC = 48 \].

\[ 5y + 3y = 48 \]

\[ 8y = 48 \]

\[ y = 6 \]

9. Находим AC и BC:

\[ AC = 5y = 5 \times 6 = 30 \]

\[ BC = 3y = 3 \times 6 = 18 \]

10. Находим MN и MK:

\[ MN = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 30 = 15 \]

\[ MK = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 18 = 9 \]

11. Проверка соотношения MN:MK: \[ 15:9 = 5:3 \]. Это соответствует условию.

Ответ:

• \[ MN = 15 \]
• \[ MK = 9 \]