1. Рис. 602. Найти: ВС, АС, SABC.

Привет! Давай разберем эту задачку по геометрии. У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусов. Мы знаем, что угол A равен 30 градусов, а гипотенуза AB равна 8.

Дано:

• \[ \triangle ABC \]
• \[ \angle C = 90^° \]
• \[ \angle A = 30^° \]
• \[ AB = 8 \]

Найти:

• \[ BC, AC, S_{\triangle ABC} \]

Решение:

1. Находим катет BC: В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30 градусов, равен половине гипотенузы. Значит, BC = AB / 2.

\[ BC = 8 / 2 = 4 \]

2. Находим катет AC: Мы можем использовать теорему Пифагора: $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$.

\[ AC^2 + 4^2 = 8^2 \]

\[ AC^2 + 16 = 64 \]

\[ AC^2 = 64 - 16 = 48 \]

\[ AC = \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3} \]

3. Находим площадь треугольника S_ABC: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

\[ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times BC \]

\[ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{3} \times 4 \]

\[ S_{\triangle ABC} = 8\sqrt{3} \]

Ответ:

• \[ BC = 4 \]
• \[ AC = 4\sqrt{3} \]
• \[ S_{\triangle ABC} = 8\sqrt{3} \]