7. Решите задачу и напишите решение: Радиус вписанной в квадрат окружности равен 7√2. Найдите диагональ и площадь этого квадрата.

Решение:

Пусть \( r \) — радиус вписанной окружности, \( a \) — сторона квадрата, \( d \) — диагональ квадрата.

1. Находим сторону квадрата:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине стороны квадрата: \( r = \frac{a}{2} \).

Из условия известно, что \( r = 7\sqrt{2} \).

Значит, \( \frac{a}{2} = 7\sqrt{2} \).

Умножаем обе части на 2, чтобы найти сторону квадрата: \( a = 2 \cdot 7\sqrt{2} = 14\sqrt{2} \) см.

2. Находим диагональ квадрата:

Диагональ квадрата можно найти по теореме Пифагора: \( d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \). Следовательно, \( d = a\sqrt{2} \).

Подставляем найденное значение стороны \( a \):

\( d = (14\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 14 \cdot 2 = 28 \) см.

3. Находим площадь квадрата:

Площадь квадрата равна квадрату его стороны: \( S = a^2 \).

Подставляем найденное значение стороны \( a \):

\( S = (14\sqrt{2})^2 = 14^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 196 \cdot 2 = 392 \) см².

Ответ: Диагональ равна 28 см, площадь равна 392 см².