5. Решите задачи: a) Найдите ∠A? b) Найдите r? c) Найдите BC?

Решение:

a) Нахождение ∠A:

Угол, вписанный в окружность, опирается на дугу. Угол ∠C = 81° опирается на дугу AD. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол, равен 2 * вписанный угол. Вписанный угол ∠A опирается на дугу BCD. Дуга BCD = 360° - дуга BAD. Дуга BAD = 2 * ∠C = 2 * 81° = 162°. Угол ∠A и угол ∠C являются противоположными углами вписанного четырёхугольника ABCD. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°. Следовательно, \( \angle A = 180° - \angle C = 180° - 81° = 99° \).

b) Нахождение r:

ABCD — квадрат. Окружность вписана в квадрат. Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата. Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Сторона квадрата AB = 15. Следовательно, \( r = \frac{15}{2} = 7.5 \).

c) Нахождение BC:

ABCD — квадрат. Сторона квадрата равна 12. Следовательно, BC = 12.

Ответ: a) 99°; b) 7.5; c) 12.