7. Решите уравнение $$ (x - 1)^4 - 5(x - 1)^2 - 6 = 0 $$

Решение:

1. Сделаем замену переменной. Пусть \( y = (x - 1)^2 \). Тогда исходное уравнение примет вид: \[ y^2 - 5y - 6 = 0 \]
2. Решим квадратное уравнение относительно \( y \). Найдём дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \]
3. Найдём корни для \( y \): \[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6 \] \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
4. Теперь вернёмся к исходной переменной \( x \).
5. Случай 1: \( y = 6 \) \( (x - 1)^2 = 6 \) \( x - 1 = \pm \sqrt{6} \) \( x = 1 \pm \sqrt{6} \)
6. Случай 2: \( y = -1 \) \( (x - 1)^2 = -1 \) Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Ответ: x₁ = 1 + √6, x₂ = 1 - √6