7. Решить задачу: Дано: В 1-й секции библиотеки — 9 новых изданий и 1 старый учебник. Во 2-й секции — 6 новых изданий и 4 старых учебника. Из каждой секции наугад берут по 1 книге. Какова вероятность того, что: а) обе книги окажутся новыми изданиями; б) будет извлечен хотя бы один старый учебник?

7. Решение задачи:

Дано:

1-я секция: 9 новых изданий, 1 старый учебник. Всего: \( 9 + 1 = 10 \) книг.

2-я секция: 6 новых изданий, 4 старых учебника. Всего: \( 6 + 4 = 10 \) книг.

Найти:

Вероятность событий:

а) обе книги — новые издания.

б) хотя бы один старый учебник.

Решение:

а) Вероятность того, что обе книги — новые издания:

Вероятность вынуть новую книгу из 1-й секции: \( P(Новая_1) = \frac{9}{10} \).

Вероятность вынуть новую книгу из 2-й секции: \( P(Новая_2) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \).

Поскольку события независимые, вероятность того, что обе книги окажутся новыми, равна произведению вероятностей:

\( P(Обе новые) = P(Новая_1) \cdot P(Новая_2) = \frac{9}{10} \cdot \frac{6}{10} = \frac{54}{100} = \frac{27}{50} \).

б) Вероятность того, что будет извлечен хотя бы один старый учебник:

Событие «хотя бы один старый учебник» является противоположным событию «обе книги — новые издания». Поэтому вероятность этого события можно найти, вычтя из 1 вероятность того, что обе книги — новые.

\( P(\text{хотя бы один старый}) = 1 - P(\text{обе новые}) \)

\( P(\text{хотя бы один старый}) = 1 - \frac{27}{50} = \frac{50}{50} - \frac{27}{50} = \frac{23}{50} \).

Альтернативный способ для пункта б):

Рассмотрим случаи, когда извлекается хотя бы один старый учебник:

1. Старый из 1-й секции, новый из 2-й: \( P(Старая_1 \text{ и } Новая_2) = \frac{1}{10} \cdot \frac{6}{10} = \frac{6}{100} \)
2. Новый из 1-й секции, старый из 2-й: \( P(Новая_1 \text{ и } Старая_2) = \frac{9}{10} \cdot \frac{4}{10} = \frac{36}{100} \)
3. Старый из 1-й секции, старый из 2-й: \( P(Старая_1 \text{ и } Старая_2) = \frac{1}{10} \cdot \frac{4}{10} = \frac{4}{100} \)

Суммируем вероятности несовместных событий:

\( P(\text{хотя бы один старый}) = \frac{6}{100} + \frac{36}{100} + \frac{4}{100} = \frac{46}{100} = \frac{23}{50} \).

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: а) Вероятность того, что обе книги окажутся новыми изданиями, равна \( \frac{27}{50} \). б) Вероятность того, что будет извлечен хотя бы один старый учебник, равна \( \frac{23}{50} \).