1. Решить уравнения: a) sin(2x) = √2/2 6) 4^x = 2^(6+x-x^2) в) 6 sin^2(x) - sin(x) - 1 = 0

1. Решение уравнений:

а) \( \sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Общее решение уравнения \( \sin(y) = a \) имеет вид \( y = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

В нашем случае \( y = 2x \) и \( a = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

\( 2x = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n \)

\( 2x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n \)

Разделим обе части на 2:

\( x = \frac{(-1)^n}{2} \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \)

\( x = \frac{(-1)^n \pi}{8} + \frac{\pi n}{2} \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

б) \( 4^x = 2^{6+x-x^2} \)

Перепишем основание 4 как \( 2^2 \):

\( (2^2)^x = 2^{6+x-x^2} \)

\( 2^{2x} = 2^{6+x-x^2} \)

Приравниваем показатели степеней:

\( 2x = 6 + x - x^2 \)

Переносим все члены в одну сторону:

\( x^2 + 2x - x - 6 = 0 \)

\( x^2 + x - 6 = 0 \)

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \). \( \sqrt{D} = 5 \).

\( x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

\( x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)

в) \( 6 \sin^2(x) - \sin(x) - 1 = 0 \)

Это квадратное уравнение относительно \( \sin(x) \). Пусть \( y = \sin(x) \). Тогда уравнение примет вид:

\( 6y^2 - y - 1 = 0 \)

Решаем квадратное уравнение для \( y \). Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25 \). \( \sqrt{D} = 5 \).

\( y_1 = \frac{1 + 5}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \)

\( y_2 = \frac{1 - 5}{2 \cdot 6} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3} \)

Теперь возвращаемся к \( \sin(x) \):

1) \( \sin(x) = \frac{1}{2} \)

\( x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n \)

\( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

2) \( \sin(x) = -\frac{1}{3} \)

\( x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{3}) + \pi k \)

\( x = -(-1)^k \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: а) \( x = \frac{(-1)^n \pi}{8} + \frac{\pi n}{2} \), \( n \in \mathbb{Z} \); б) \( x_1 = 2, x_2 = -3 \); в) \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \) и \( x = -(-1)^k \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k \), \( n, k \in \mathbb{Z} \).