7. Решить однородное уравнение первой степени: a) \(\sqrt{3}\cos x + \sin x = 0\); б) 5\cos x + 2\sin x = 0.

Краткое пояснение:

Однородные тригонометрические уравнения первой степени вида \( a · · · \cos x + b · · · \sin x = 0 \) решаются делением обеих частей на \( \cos x \) (при условии, что \( \cos x
eq 0 \)).

Пошаговое решение:

1. а) \(\sqrt{3}\cos x + \sin x = 0\)
   Проверим, может ли \( \cos x = 0 \). Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \). В этом случае \( \sin x = \pm 1 \). Уравнение примет вид \( \sqrt{3} · 0 + (± 1) = 0 \), что неверно. Следовательно, \( \cos x
   eq 0 \).
   Разделим обе части уравнения на \( \cos x \):
   \( \sqrt{3} + \frac{\sin x}{\cos x} = 0 \)
   \( \sqrt{3} + \text{tg} x = 0 \)
   \( \text{tg} x = -\sqrt{3} \)
   \( x = -\frac{\pi}{3} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
2. б) 5\cos x + 2\sin x = 0
   Аналогично, проверим, может ли \( \cos x = 0 \). Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = ± 1 \). Уравнение примет вид \( 5 · 0 + 2(± 1) = 0 \), что неверно. Следовательно, \( \cos x
   eq 0 \).
   Разделим обе части уравнения на \( \cos x \):
   \( 5 + 2\frac{\sin x}{\cos x} = 0 \)
   \( 5 + 2\text{tg} x = 0 \)
   \( 2\text{tg} x = -5 \)
   \( \text{tg} x = -\frac{5}{2} \)
   \( x = \text{arctg}\left(-\frac{5}{2}\right) + \pi n \) (или \( x = -\text{arctg}\left(\frac{5}{2}\right) + \pi n \)), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: а) \( x = -\frac{\pi}{3} + \pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \); б) \( x = -\text{arctg}\left(\frac{5}{2}\right) + \pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).