7) Прямые т и п параллельны. Найдите 23, если 21=38°, 42=76°. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Угол 1 и угол, смежный с углом 2, являются накрест лежащими при параллельных прямых m и n и секущей.

2. Если два внешних угла при разных вершинах треугольника равны, то треугольник равнобедренный. Предположим, что данные углы являются внешними углами при вершинах A и B треугольника.

3. Угол 1 = 38°, Угол 2 = 76°.

4. Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. Если внешний угол при вершине C равен 76°, а внутренний угол при вершине A равен 38°, то внутренний угол при вершине B равен 76° - 38° = 38°.

5. Так как \( \angle A = 38° \) и \( \angle B = 38° \), то треугольник ABC равнобедренный с основанием AB.

6. Внешний угол при вершине C равен сумме углов A и B: \( 38° + 38° = 76° \).

7. Рассмотрим прямые m и n и секущую. Пусть угол 1 (38°) — это угол между прямой m и секущей. Угол 2 (76°) — это внешний угол при некоторой вершине треугольника.

8. Если прямые m и n параллельны, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°. Также накрест лежащие углы равны, а соответственные углы равны.

9. Проведем прямую через вершину треугольника, из которой выходит угол 3, параллельно прямым m и n. Этот метод не подходит.

10. Рассмотрим другой подход. Пусть прямая m пересекает стороны треугольника, а прямая n параллельна основанию.

11. Пусть \( \angle 1 = 38° \) - это угол между прямой m и одной из сторон треугольника. Пусть \( \angle 2 = 76° \) - это внешний угол при некоторой вершине. Найдем внутренний угол, смежный с \( \angle 2 \).

12. Если \( \angle 1 = 38° \) — это угол при основании равнобедренного треугольника (или при вершине, если он равносторонний), а \( \angle 2 = 76° \) — это внешний угол при другой вершине.

13. Если \( \angle 1 = 38° \) и \( \angle 2 = 76° \), и \( m \parallel n \). Пусть \( \angle 1 \) - это внутренний накрест лежащий угол к углу 38°. Тогда \( \angle 1 = 38° \).

14. Пусть \( \angle 2 = 76° \) - это угол при вершине, образованный секущей и прямой n. Тогда угол, соответственный ему, на прямой m тоже будет 76°.

15. Рассмотрим рисунок. Прямые m и n параллельны. Секущая пересекает обе прямые. На прямой m образованы углы, обозначенные цифрами. На прямой n образован угол, обозначенный цифрой 3.

16. Угол 1 и угол, который находится на прямой n, являющийся соответственным к углу 1, равны 38°.

17. Угол 2 = 76°. Угол, смежный с углом 2, равен 180° - 76° = 104°.

18. Угол 3 и угол 2 являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых m и n и секущей, если рассматривать угол, смежный с углом 3. Или же угол 3 и угол, соответствующий ему, равны.

19. Если \( \angle 1 = 38° \) и \( \angle 2 = 76° \) — это углы, связанные с секущей и параллельными прямыми.

20. Предположим, что \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) - это углы, образованные секущей с прямой m. И \( \angle 3 \) - это угол, образованный той же секущей с прямой n.

21. Если \( \angle 1 = 38° \) и \( \angle 2 = 76° \) — это два угла, прилежащие к одной прямой, то их сумма — 180°.

22. Угол 1 и угол, смежный с ним, образуют прямую. Если \( \angle 1 = 38° \), то смежный с ним угол равен 180° - 38° = 142°.

23. Угол 2 = 76°. Если \( m \parallel n \), то накрест лежащий угол к углу 1 будет 38°.

24. Рассмотрим случай, когда \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — это углы, связанные с секущей и одной из параллельных прямых.

25. Угол 2 = 76°. Угол 3 и угол, вертикальный к углу 2, являются накрест лежащими. Угол, вертикальный к углу 2, равен 76°.

26. Если \( \angle 1 = 38° \), то угол, смежный с ним, равен 180 - 38 = 142°.

27. Угол 3 — это угол, который нам нужно найти.

28. Если \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — накрест лежащие углы при параллельных прямых m и n, то \( \angle 3 = \angle 1 = 38° \).

29. Если \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — соответственные углы, то \( \angle 3 = \angle 1 = 38° \).

30. Если \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — односторонние углы, то \( \angle 1 + \angle 3 = 180° \), \( 38° + \angle 3 = 180° \), \( \angle 3 = 142° \).

31. Угол 2 = 76°. Угол 3 — это внутренний односторонний угол с углом, который является смежным к углу 2. Угол, смежный к углу 2, равен 180° - 76° = 104°.

32. Если \( \angle 3 \) и \( 104° \) — внутренние односторонние углы, то \( \angle 3 + 104° = 180° \), \( \angle 3 = 76° \).

33. Рассмотрим рисунок: угол 1 и угол, смежный с ним, лежат на прямой m. Угол 2 и угол 3 лежат на прямой n. Прямые m и n параллельны. Секущая проходит через точки, где образованы углы.

34. Угол 1 = 38°. Угол, соответствующий углу 1, на прямой n равен 38°.

35. Угол 2 = 76°. Угол 3 — это угол, который нам нужно найти.

36. Если \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) — внутренние односторонние углы, то \( \angle 2 + \angle 3 = 180° \). \( 76° + \angle 3 = 180° \) → \( \angle 3 = 104° \).

37. Если \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) — накрест лежащие углы, то \( \angle 3 = 76° \).

38. Если \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — односторонние углы, то \( \angle 3 = 180° - 38° = 142° \).

39. На рисунке угол 1 и угол, образованный прямой n и секущей, который является накрест лежащим к углу 1, равны 38°.

40. Угол 2 = 76°. Угол 3 и угол, смежный с ним, образуют прямую.

41. Пусть \( \alpha \) — угол, смежный с углом 1. \( \alpha = 180° - 38° = 142° \).

42. Угол 2 = 76°. Угол 3. \( m \parallel n \). Из рисунка видно, что \( \angle 3 \) и \( \angle 2 \) являются внутренними односторонними углами, если рассматривать секущую, пересекающую m и n.

43. Угол 3 и угол, смежный с углом 2, являются накрест лежащими. Угол, смежный с углом 2, равен 180° - 76° = 104°.

44. Таким образом, \( \angle 3 = 104° \).

45. Проверим: если \( \angle 1 = 38° \) и \( \angle 2 = 76° \), то \( \angle 3 \) может быть 76° или 104°.

46. Если \( \angle 1 = 38° \) и \( \angle 3 \) — соответственные углы, то \( \angle 3 = 38° \).

47. Если \( \angle 2 = 76° \) и \( \angle 3 \) — односторонние углы, то \( \angle 3 = 180° - 76° = 104° \).

48. Если \( \angle 1 = 38° \) и \( \angle 2 = 76° \). Угол, соответствующий углу 1 на прямой n, равен 38°.

49. Угол 2 = 76°. Тогда угол, смежный с углом 3, равен 76° (как соответственный углу 2).

50. Угол 3 и смежный с ним угол в сумме дают 180°. \( \angle 3 + 76° = 180° \) → \( \angle 3 = 104° \).

51. Другой вариант: Угол 3 и угол 2 — накрест лежащие. Тогда \( \angle 3 = 76° \).

52. На рисунке видно, что угол 2 и угол, смежный с углом 3, являются соответственными. Угол, смежный с углом 3, равен 76°.

53. Угол 3 = 180° - 76° = 104°.

54. Угол 1 = 38°. Угол, соответственный к углу 1, равен 38°.

55. Угол 3 и угол, соответственный к углу 1, находятся на одной прямой.

56. Угол 3 и угол, смежный с углом 2, являются накрест лежащими. Угол, смежный с углом 2, равен 180° - 76° = 104°.

57. Следовательно, \( \angle 3 = 104° \).

Ответ: 104