7. Отрезки АВ и СД являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если АВ = 20, а расстояния от центра окружности до хорд АВ и СД равны соответственно 24 и 10.

Решение:

1. Обозначим центр окружности буквой O. Пусть OK — перпендикуляр к хорде AB, а OL — перпендикуляр к хорде CD. Тогда OK = 24, OL = 10.
2. По теореме о перпендикуляре из центра к хорде, середина хорды делит её пополам. То есть \( AK = KB = \frac{AB}{2} = \frac{20}{2} = 10 \).
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник OKA. По теореме Пифагора найдём радиус окружности R:
4. \( R^2 = OK^2 + AK^2 \)
5. \( R^2 = 24^2 + 10^2 = 576 + 100 = 676 \)
6. \( R = \sqrt{676} = 26 \)
7. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник OLC. Пусть CL = LD = \( \frac{CD}{2} \). По теореме Пифагора:
8. \( R^2 = OL^2 + CL^2 \)
9. \( 26^2 = 10^2 + CL^2 \)
10. \( 676 = 100 + CL^2 \)
11. \( CL^2 = 676 - 100 = 576 \)
12. \( CL = \sqrt{576} = 24 \)
13. Длина хорды CD равна удвоенной длине отрезка CL:
14. \( CD = 2 \cdot CL = 2 \cdot 24 = 48 \)

Ответ: 48