7. Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол 60° и равна 6√3 Найдите площадь боковой поверхности конуса

Решение:

Дано:
Конус.
Угол между образующей и плоскостью основания \( \alpha = 60^{\circ} \).
Образующая \( l = 6\sqrt{3} \) см.
Найти: Площадь боковой поверхности конуса \( S_{бок} \).

1. Найдём высоту и радиус основания конуса:
В прямоугольном треугольнике, образованном высотой \( H \), радиусом основания \( r \) и образующей \( l \) (гипотенузой), угол между образующей и плоскостью основания равен \( \alpha \).

Синус угла \( \alpha \) равен отношению противолежащего катета (высоты) к гипотенузе:
\[ \sin(\alpha) = \frac{H}{l} \]
\[ \sin(60^{\circ}) = \frac{H}{6\sqrt{3}} \]
Так как \( \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), то:
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{H}{6\sqrt{3}} \]
\[ H = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6\sqrt{3} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9 \) см.

Косинус угла \( \alpha \) равен отношению прилежащего катета (радиуса) к гипотенузе:
\[ \cos(\alpha) = \frac{r}{l} \]
\[ \cos(60^{\circ}) = \frac{r}{6\sqrt{3}} \]
Так как \( \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2} \), то:
\[ \frac{1}{2} = \frac{r}{6\sqrt{3}} \]
\[ r = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \) см.

2. Вычислим площадь боковой поверхности конуса:
Формула площади боковой поверхности конуса: \( S_{бок} = \pi r l \)
\[ S_{бок} = \pi \cdot (3\sqrt{3}) \cdot (6\sqrt{3}) \]
\[ S_{бок} = \pi \cdot 3 \cdot 6 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) \]
\[ S_{бок} = \pi \cdot 18 \cdot 3 \]
\[ S_{бок} = 54 \(\pi\) \) см².

Ответ: 54π см²