7. Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол 450, высота конуса равна 3√2 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Задание 7. Площадь боковой поверхности конуса

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

\[ S_{бок} = \pi r l \]

Где \( r \) — радиус основания, а \( l \) — длина образующей.

Нам дана высота \( h = 3\sqrt{2} \) см, и угол между образующей и плоскостью основания \( \alpha = 45^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса, радиусом основания и образующей. В этом треугольнике:

\[ \tan(\alpha) = \frac{h}{r} \implies r = \frac{h}{\tan(\alpha)} \]

Подставим значения:

\[ r = \frac{3\sqrt{2}}{\tan(45^{\circ})} = \frac{3\sqrt{2}}{1} = 3\sqrt{2} \] см.

Теперь найдём образующую \( l \). В том же прямоугольном треугольнике:

\[ \sin(\alpha) = \frac{h}{l} \implies l = \frac{h}{\sin(\alpha)} \]

\[ l = \frac{3\sqrt{2}}{\sin(45^{\circ})} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 6 \] см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

\[ S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot (3\sqrt{2}) \cdot 6 \]

\[ S_{бок} = 18\sqrt{2} \pi \] см².

Ответ: 18\(\sqrt{2}\)\(\pi\) см²