6.Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 12 см и образует с плоскостью основания угол 60°.

Задание 6. Объём правильной четырёхугольной пирамиды

Дано:

• Правильная четырёхугольная пирамида.
• Боковое ребро \( l = 12 \) см.
• Угол между боковым ребром и плоскостью основания \( = 60^{°} \).

Найти: Объём пирамиды \( V \).

Решение:

1. Объём пирамиды вычисляется по формуле: \[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \], где \( S_{осн} \) – площадь основания, \( h \) – высота пирамиды.
2. Так как пирамида правильная четырёхугольная, в основании лежит квадрат.
3. Найдем диагональ основания \( d \). В прямоугольном треугольнике, образованном боковым ребром \( l \), высотой пирамиды \( h \) и проекцией бокового ребра на основание (радиусом описанной окружности \( R \)), угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60°.
4. Боковое ребро \( l \) – это гипотенуза этого треугольника. Радиус описанной окружности \( R \) – катет, прилежащий к углу 60°.
5. \[ R = l \cdot \cos(60^{°}) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \] см.
6. Диагональ основания квадрата \( d = 2R = 2 \cdot 6 = 12 \) см.
7. Сторона основания квадрата \( a \) связана с диагональю соотношением \( d = a\sqrt{2} \).
8. \[ a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \] см.
9. Площадь основания пирамиды: \[ S_{осн} = a^2 = (6\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72 \] см².
10. Найдем высоту пирамиды \( h \) из того же прямоугольного треугольника, используя синус угла 60°: \[ h = l \cdot \sin(60^{°}) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \] см.
11. Вычислим объём пирамиды: \[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 72 \cdot 6\sqrt{3} = 24 \cdot 6\sqrt{3} = 144\sqrt{3} \] см³.

Ответ: $$144\sqrt{3}$$ см³.