№ 7. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции: \( f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 36x + 5 \)

Решение:

1. Находим промежутки монотонности:

1. Найдем производную функции: \( f'(x) = (2x^3 + 3x^2 - 36x + 5)' = 6x^2 + 6x - 36 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 6x^2 + 6x - 36 = 0 \).
3. Разделим уравнение на 6: \( x^2 + x - 6 = 0 \).
4. Найдем корни квадратного уравнения: \( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \).
5. \( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \).
6. \( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3 \).
7. Критические точки: \( x = -3 \) и \( x = 2 \).
8. Определим знаки производной на интервалах:
• При \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \)): \( f'(-4) = 6(-4)^2 + 6(-4) - 36 = 6(16) - 24 - 36 = 96 - 60 = 36 > 0 \) (функция возрастает).
• При \( -3 < x < 2 \) (например, \( x = 0 \)): \( f'(0) = 6(0)^2 + 6(0) - 36 = -36 < 0 \) (функция убывает).
• При \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \( f'(3) = 6(3)^2 + 6(3) - 36 = 6(9) + 18 - 36 = 54 + 18 - 36 = 36 > 0 \) (функция возрастает).

2. Находим точки экстремума:

1. В точке \( x = -3 \) производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка локального максимума.
2. В точке \( x = 2 \) производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка локального минимума.
3. Вычислим значения функции в точках экстремума:
• \( f(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 36(-3) + 5 = 2(-27) + 3(9) + 108 + 5 = -54 + 27 + 108 + 5 = 86 \).
• \( f(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 36(2) + 5 = 2(8) + 3(4) - 72 + 5 = 16 + 12 - 72 + 5 = -39 \).

Ответ:

• Промежутки монотонности: функция возрастает на \( (-\infty; -3] \) и \( [2; +\infty) \), убывает на \( [-3; 2] \).
• Точки экстремума: локальный максимум в точке \( x = -3 \) (значение \( f(-3) = 86 \)), локальный минимум в точке \( x = 2 \) (значение \( f(2) = -39 \)).