№ 6. Решите уравнение: \(\frac{2x^2+9x-5}{x^2-25} = 0\)

Решение:

1. Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
2. Приравняем числитель к нулю: \( 2x^2 + 9x - 5 = 0 \).
3. Найдем корни квадратного уравнения, используя дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121 \).
4. Найдем корни: \( x_1 = \frac{-9 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 + 11}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 \).
5. \( x_2 = \frac{-9 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 - 11}{4} = \frac{-20}{4} = -5 \).
6. Теперь проверим знаменатель \( x^2 - 25 \). Он не должен быть равен нулю.
7. \( x^2 - 25 \neq 0 \implies x^2 \neq 25 \implies x \neq 5 \) и \( x \neq -5 \).
8. Среди найденных корней (0.5 и -5) есть корень \( x = -5 \), при котором знаменатель обращается в ноль.
9. Следовательно, \( x = -5 \) не является решением уравнения.
10. Единственное решение — \( x = 0.5 \).

Ответ: 0.5