7. Найдите значения х, при которых значения производной функции f(x) = (1 - x) / (x^2 + 8) отрицательны.

1. Находим производную функции f(x):

Используем правило деления производных: (u/v)' = (u'v - uv') / v^2.

Пусть u = 1 - x, тогда u' = -1.

Пусть v = x^2 + 8, тогда v' = 2x.

\[ f'(x) = \frac{(-1)(x^2 + 8) - (1 - x)(2x)}{(x^2 + 8)^2} \]

\[ f'(x) = \frac{-x^2 - 8 - (2x - 2x^2)}{(x^2 + 8)^2} \]

\[ f'(x) = \frac{-x^2 - 8 - 2x + 2x^2}{(x^2 + 8)^2} \]

\[ f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 8}{(x^2 + 8)^2} \]

2. Определяем, когда производная отрицательна:

Нам нужно, чтобы f'(x) < 0.

\[ \frac{x^2 - 2x - 8}{(x^2 + 8)^2} < 0 \]

Знаменатель (x^2 + 8)^2 всегда положителен, так как x^2 >= 0, и 8 > 0, следовательно, x^2 + 8 > 0, и его квадрат тоже положителен.

Значит, знак неравенства зависит от числителя: x^2 - 2x - 8 < 0.

3. Решаем квадратное неравенство:

Найдем корни уравнения x^2 - 2x - 8 = 0.

Дискриминант D = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36.

x1 = (2 + sqrt(36)) / 2 = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4.

x2 = (2 - sqrt(36)) / 2 = (2 - 6) / 2 = -4 / 2 = -2.

Парабола y = x^2 - 2x - 8 ветвями вверх. Она отрицательна между корнями.

Следовательно, -2 < x < 4.

Ответ: Значения x, при которых производная отрицательна, находятся в интервале (-2; 4).