7. Найдите значение выражения \( \frac{4^2(m-n)^2}{m^2-n^2} \cdot \frac{(m+n)^2}{m^2+n^2} \) при \( m = -\sqrt{5} \) и \( n = -\sqrt{11} \).

Решение:

Упростим выражение:

1. Разложим знаменатель первой дроби как разность квадратов: \( m^2 - n^2 = (m-n)(m+n) \)
2. Упростим дробь: \( \frac{4^2(m-n)^2}{(m-n)(m+n)} = \frac{16(m-n)}{m+n} \)
3. Теперь умножим на вторую дробь: \( \frac{16(m-n)}{m+n} \cdot \frac{(m+n)^2}{m^2+n^2} = \frac{16(m-n)(m+n)}{m^2+n^2} = \frac{16(m^2-n^2)}{m^2+n^2} \)

Теперь подставим значения \( m = -\sqrt{5} \) и \( n = -\sqrt{11} \).

1. \( m^2 = (-\sqrt{5})^2 = 5 \)
2. \( n^2 = (-\sqrt{11})^2 = 11 \)
3. \( m^2 - n^2 = 5 - 11 = -6 \)
4. \( m^2 + n^2 = 5 + 11 = 16 \)

Подставим в упрощённое выражение:

\( \frac{16(m^2-n^2)}{m^2+n^2} = \frac{16(-6)}{16} = -6 \)

Ответ: -6