7 Найдите значение выражения 5(2k)⁴ / k¹⁷ k⁵ при k = 2√5.

Краткое пояснение:

Чтобы найти значение выражения, сначала упростим его, используя свойства степеней, а затем подставим значение k.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упрощаем числитель: \( 5(2k)^4 = 5 \cdot 2^4 \cdot k^4 = 5 \cdot 16 \cdot k^4 = 80k^4 \).
2. Шаг 2: Упрощаем знаменатель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием: \( k^{17} \cdot k^5 = k^{17+5} = k^{22} \).
3. Шаг 3: Объединяем числитель и знаменатель: \( rac{80k^4}{k^{22}} = 80k^{4-22} = 80k^{-18} = rac{80}{k^{18}} \).
4. Шаг 4: Подставляем значение \( k = 2\sqrt{5} \): \( rac{80}{(2\sqrt{5})^{18}} \).
5. Шаг 5: Возводим \( 2\sqrt{5} \) в 18-ю степень: \( (2\sqrt{5})^{18} = 2^{18} \cdot (\sqrt{5})^{18} = 2^{18} \cdot (5^{1/2})^{18} = 2^{18} \cdot 5^{18/2} = 2^{18} \cdot 5^9 \).
6. Шаг 6: Подставляем обратно в дробь: \( rac{80}{2^{18} \cdot 5^9} \).
7. Шаг 7: Упрощаем: \( 80 = 16 \cdot 5 = 2^4 \cdot 5^1 \). Таким образом, выражение становится: \( rac{2^4 \cdot 5^1}{2^{18} \cdot 5^9} = rac{1}{2^{18-4} \cdot 5^{9-1}} = rac{1}{2^{14} \cdot 5^8} \).

Ответ: \frac{1}{2^{14} \cdot 5^8}