7. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 5, которые больше 100 и меньше 200.

Решение:

1. Найдем первое натуральное число, кратное 5, которое больше 100. Это число 105.

2. Найдем последнее натуральное число, кратное 5, которое меньше 200. Это число 195.

3. Получилась арифметическая прогрессия: \( 105, 110, 115, ..., 195 \).

4. Найдем количество членов этой прогрессии по формуле \( a_n = a_1 + (n-1)d \), где \( a_n = 195 \), \( a_1 = 105 \), \( d = 5 \):

\( 195 = 105 + (n-1)5 \)

\( 195 - 105 = (n-1)5 \)

\( 90 = (n-1)5 \)

\( n-1 = \frac{90}{5} = 18 \)

\( n = 18 + 1 = 19 \)

5. Найдем сумму этой прогрессии по формуле \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \):

\( S_{19} = \frac{105 + 195}{2} \cdot 19 = \frac{300}{2} \cdot 19 = 150 \cdot 19 = 2850 \)

Ответ: 2850.