7. Найдите производную: (√x · e^x)'

Решение:

Используем правило производной произведения \( (uv)' = u'v + uv' \), где \( u = \sqrt{x} = x^{1/2} \) и \( v = e^x \).

1. Найдем производную \( u' \): \( u' = \left(x^{1/2}\right)' = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).
2. Найдем производную \( v' \): \( v' = (e^x)' = e^x \).
3. Подставим в формулу производной произведения: \( \left(\sqrt{x} \cdot e^x\right)' = \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right) \cdot e^x + \sqrt{x} \cdot e^x \).
4. Вынесем общий множитель \( e^x \): \( e^x \left( \frac{1}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \right) \).
5. Приведём выражение в скобках к общему знаменателю: \( e^x \left( \frac{1 + 2(\sqrt{x})^2}{2\sqrt{x}} \right) = e^x \left( \frac{1 + 2x}{2\sqrt{x}} \right) \).

Ответ: \( e^x \left( \frac{1 + 2x}{2\sqrt{x}} \right) \)