5. Вычислите предел: lim (x³-1)/(x-1) при x→1

Решение:

При подстановке \( x = 1 \) в выражение получаем неопределённость вида \( \frac{0}{0} \). Используем формулу разности кубов \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \):

1. Разложим числитель \( x^3 - 1 \) как разность кубов: \( x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1) \).
2. Теперь предел имеет вид: \( \lim_{x\to1} \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1} \).
3. Сократим \( (x-1) \) (так как \( x \to 1 \), то \( x \neq 1 \)): \( \lim_{x\to1} (x^2+x+1) \).
4. Подставим \( x = 1 \): \( 1^2 + 1 + 1 = 3 \).

Ответ: 3