7. Найдите производную: (tgx / x)'

Решение:

Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного: \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Здесь \( u = \text{tg}x \) и \( v = x \).

Найдем производные \( u' \) и \( v' \):

$$ u' = (\text{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2 x} $$$$ v' = (x)' = 1 $$

Теперь подставим в формулу:

$$ \left( \frac{\text{tg}x}{x} \right)' = \frac{\frac{1}{\cos^2 x} \cdot x - \text{tg}x \cdot 1}{x^2} $$

Упростим выражение:

$$ = \frac{\frac{x}{\cos^2 x} - \text{tg}x}{x^2} = \frac{\frac{x - \text{tg}x \cos^2 x}{\cos^2 x}}{x^2} = \frac{x - \text{tg}x \cos^2 x}{x^2 \cos^2 x} $$

Ответ: $$\frac{x - \text{tg}x \cos^2 x}{x^2 \cos^2 x}$$