7. Найдите меньшее основание прямоугольной трапеции, у которой площадь равна 3150√3, высота равна 30√3, а острый угол равен 30°.

Пошаговое решение:

1. Площадь трапеции S = ((a + b) / 2) * h, где a и b - основания, h - высота.
2. Дано: S = 3150√3, h = 30√3.
3. 3150√3 = ((a + b) / 2) * 30√3
4. Разделим обе части на 30√3: 3150 / 30 = (a + b) / 2
5. 105 = (a + b) / 2
6. a + b = 210.
7. В прямоугольной трапеции, если провести высоту из вершины тупого угла к большему основанию, образуется прямоугольник и прямоугольный треугольник. Острый угол равен 30°. Отношение катета, противолежащего углу 30°, к прилежащему катету (высоте) равно 1/√3.
8. Пусть меньшее основание равно a, большее основание b. Отрезок, на который большее основание длиннее меньшего, равен x. Этот отрезок является катетом прямоугольного треугольника, противолежащим углу 30°. Высота (30√3) является вторым катетом.
9. x / (30√3) = tan(30°) = 1/√3
10. x = (30√3) / √3 = 30.
11. Таким образом, b = a + x = a + 30.
12. Подставим в уравнение a + b = 210:
13. a + (a + 30) = 210
14. 2a + 30 = 210
15. 2a = 180
16. a = 90.

Ответ: 90