7. На стороне AC треугольника ABC выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны. Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

Рассмотрим точки \(D\) и \(E\) на отрезке \(AC\).

1. По условию \(AD=CE\).
2. Так как точки расположены на одной прямой, из равенства \(AD=CE\) следует, что середина отрезка \(DE\) совпадает с серединой отрезка \(AC\).
3. По условию \(BD=BE\). Значит, точка \(B\) равноудалена от точек \(D\) и \(E\), поэтому она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \(DE\).
4. Серединный перпендикуляр к \(DE\) проходит через середину \(AC\) и перпендикулярен прямой \(AC\). Следовательно, это также серединный перпендикуляр к \(AC\).
5. Точка \(B\) лежит на серединном перпендикуляре к \(AC\), поэтому \(BA=BC\).

Следовательно, треугольник \(ABC\) равнобедренный.