7 К окружности с центром О проведена касательная MN (М — точка касания). Найдите отрезок MN, если ON = 12 см и ∠NOM = 30°.

Задание 7

Дано:

• Окружность с центром O.
• MN — касательная к окружности в точке M.
• ON = 12 см.
• ∠NOM = 30°.

Найти: длину отрезка MN.

Решение:

1. Радиус OM, проведённый к точке касания, перпендикулярен касательной MN. Следовательно, ∠OMN = 90°.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔOMN.
3. В этом треугольнике ON — гипотенуза, OM и MN — катеты.
4. Нам известно, что ON = 12 см и ∠NOM = 30°.
5. Так как ∠OMN = 90°, то OM является радиусом окружности.
6. Касательная MN является отрезком, поэтому мы ищем длину этого отрезка.
7. Воспользуемся тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике:
8. \( \frac{OM}{ON} = \frac{1}{2} \) (так как OM лежит против угла в 30°).
9. OM = \( \frac{1}{2} \times ON = \frac{1}{2} \times 12 \) см = 6 см.
10. Теперь найдём MN, используя теорему Пифагора: \( MN^2 + OM^2 = ON^2 \).
11. \( MN^2 + 6^2 = 12^2 \)
12. \( MN^2 + 36 = 144 \)
13. \( MN^2 = 144 - 36 = 108 \)
14. \( MN = \text{sqrt}(108) = \text{sqrt}(36 \times 3) = 6\text{sqrt}(3) \) см.
15. Также можно найти MN через тангенс угла NOM: \( \text{tg}(\text{∠NOM}) = \frac{MN}{OM} \).
16. \( \text{tg}(30^\text{o}) = \frac{MN}{6} \).
17. \( MN = 6 \times \text{tg}(30^\text{o}) = 6 \times \frac{1}{\text{sqrt}(3)} = \frac{6}{\text{sqrt}(3)} = \frac{6\text{sqrt}(3)}{3} = 2\text{sqrt}(3) \).
18. Прошу прощения, я допустила ошибку в первом расчёте. Верный расчет через тангенс: \( MN = 6 \times \text{tg}(30^\text{o}) = 6 \times \frac{1}{\text{sqrt}(3)} = 2\text{sqrt}(3) \) см.
19. Пересчитаем через Пифагора. OM = 6 см. \( MN^2 + 6^2 = 12^2 \) \( MN^2 + 36 = 144 \) \( MN^2 = 108 \) \( MN = \text{sqrt}(108) = 6\text{sqrt}(3) \).
20. Я снова запуталась. Давайте вернемся к определению. В прямоугольном треугольнике OMN, угол при M = 90 градусов. ON - гипотенуза, OM - катет, MN - катет.
21. OM - это радиус, значит OM = R.
22. sin(30°) = OM / ON. OM = ON * sin(30°) = 12 * 0.5 = 6 см.
23. cos(30°) = MN / ON. MN = ON * cos(30°) = 12 * \( \frac{\text{sqrt}(3)}{2} \) = \( 6\text{sqrt}(3) \) см.

Ответ: \( 6\text{sqrt}(3) \) см.