7. Диагональ равнобокой трапеции делит пополам ее острый угол, а среднюю линию - на отрезки длиной 13 см и 23 см. Найдите площадь трапеции.

1. Если диагональ делит острый угол пополам, то трапеция является равнобедренной, и боковая сторона равна меньшему основанию. Пусть меньшее основание равно $$a$$, большее основание равно $$b$$. Тогда боковая сторона $$c = a$$.

2. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $$\frac{a+b}{2}$$. По условию, средняя линия делится на отрезки 13 см и 23 см. Это означает, что одно из оснований равно 13 см, а другое 23 см. Так как боковая сторона равна меньшему основанию, то $$a=13$$ см, $$b=23$$ см.

3. Найдем высоту трапеции. Проведем высоту из вершины меньшего основания. Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой $$c=13$$ и катетом $$\frac{b-a}{2} = \frac{23-13}{2} = 5$$ см. Высота $$h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$ см.

4. Площадь трапеции равна $$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{13+23}{2} \cdot 12 = \frac{36}{2} \cdot 12 = 18 \cdot 12 = 216$$ см².