7. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁, B₁C₁D₁, в котором А А₁ = 6, а АВ = BC = 3. Вычислите косинус угла между векторами BA₁ и BC₁.

Краткая запись:

• Параллелепипед: прямоугольный
• AA₁ = 6
• AB = BC = 3
• Найти: cos(угол между BA₁ и BC₁)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Зададим систему координат. Пусть начало координат находится в точке B. Ось X вдоль BA, ось Y вдоль BC, ось Z вдоль BA₁.
2. Шаг 2: Определим координаты вершин:
• B = (0, 0, 0)
• A = (3, 0, 0)
• C = (0, 3, 0)
• A₁ = (3, 0, 6)
• C₁ = (0, 3, 6)
3. Шаг 3: Найдем векторы BA₁ и BC₁:
• \( \vec{BA_1} = A_1 - B = (3, 0, 6) - (0, 0, 0) = (3, 0, 6) \)
• \( \vec{BC_1} = C_1 - B = (0, 3, 6) - (0, 0, 0) = (0, 3, 6) \)
4. Шаг 4: Вычислим скалярное произведение векторов \( \vec{BA_1} \vec{BC_1} \):
• \( \vec{BA_1} \vec{BC_1} = (3)(0) + (0)(3) + (6)(6) = 0 + 0 + 36 = 36 \)
5. Шаг 5: Найдем модули векторов:
• \( |\vec{BA_1}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 0 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \)
• \( |\vec{BC_1}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{0 + 9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \)
6. Шаг 6: Найдем косинус угла между векторами по формуле: \( \cos(\alpha) = \frac{\vec{BA_1} \vec{BC_1}}{|\vec{BA_1}| |\vec{BC_1}|} \)
7. Шаг 7: Подставим значения: \( \cos(\alpha) = \frac{36}{(3\sqrt{5})(3\sqrt{5})} = \frac{36}{9 5} = \frac{36}{45} \)
8. Шаг 8: Упростим дробь: \( \cos(\alpha) = \frac{36}{45} = \frac{4}{5} \)

Ответ: Косинус угла между векторами BA₁ и BC₁ равен 4/5.