7. Биссектрисы углов N и M треугольника MNP пересекаются в точке А. Найдите NAM, если \( \angle N = 84^{\circ} \), а \( \angle M = 42^{\circ} \).

Решение:

Сумма углов треугольника \( MNP \) равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle P = 180^{\circ} - \angle N - \angle M = 180^{\circ} - 84^{\circ} - 42^{\circ} = 180^{\circ} - 126^{\circ} = 54^{\circ} \).

Точка \( A \) — точка пересечения биссектрис углов \( N \) и \( M \). Следовательно, \( NA \) — биссектриса \( \angle N \), а \( MA \) — биссектриса \( \angle M \).

Поэтому:

\( \angle ANM = \frac{1}{2} \angle N = \frac{1}{2} \cdot 84^{\circ} = 42^{\circ} \).

\( \angle AMN = \frac{1}{2} \angle M = \frac{1}{2} \cdot 42^{\circ} = 21^{\circ} \).

Теперь рассмотрим треугольник \( AMN \). Сумма углов в нем равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle NAM = 180^{\circ} - \angle ANM - \angle AMN \).

\( \angle NAM = 180^{\circ} - 42^{\circ} - 21^{\circ} = 180^{\circ} - 63^{\circ} = 117^{\circ} \).

Ответ: 117°.